【 영재교육원 진학위한 수학특강(8) 쌓기나무 문제풀이 】

1. 쌓기나무 개수 구하는 방법

지난 주 쌓기나무 문제를 풀면서 이미 확인한대로, 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고 쌓기나무의 개수를 구하는 방법을 정리해보면 다음과 같다.

① 위, 앞, 옆에서 본 모양을 위에서 본 모양에 앞, 옆에서 본 모양의 개수를 써서 하나의 모양으로 나타낸다.

② 앞, 옆에서 본 모양의 개수 중 1개인 것이 있으면 그 1에 해당하는 줄의 칸에 1을 채운다.

③ 앞, 옆에서 보았을 때 단 한 칸만 있는 칸을 찾아 해당 개수를 써 넣는다.

④ 앞, 옆에서 본 모양의 개수 중 가장 큰 수를 찾아 나머지 빈 칸 중에서 가장 큰 수가 들어갈 수 없는 칸을 표시한 다음, 가장 큰 수가 들어갈 칸을 찾아 채운다.

지난 호에서 독자 분들께 풀이를 권유했던 2006년 민사고 문제와 2007년 서울시 교육청 문제는 쌓은 모양의 가짓수를 구하는 문제이긴 하지만 위의 원리를 이용하는 것은 마찬가지이다.

위의 원리를 이용하여 쌓기나무의 개수가 정해진 칸을 채운 다음, 정해지지 않은 칸에 들어갈 수 있는 쌓기나무의 개수의 가짓수를 구하면 되는 것이다.

2. 지난 호 문제 풀이

다음은 지난 주 독자들께서 응모하셨던 2개의 문제다.

▶ 다음과 같은 모양이 되도록 쌓기나무를 쌓는 방법은 모두 몇 가지입니까? (단, 쌓기나무를 공중에 띄울 수 없고, 쌓기나무 사이에 빈틈은 없습니다.) <2006 민사고 영재판별>

▶ 다음은 쌓기나무를 이용하여 만든 입체도형을 위, 앞, 옆(오른쪽)에서 바라본 모양을 나타낸 그림입니다. 이와 같은 모양이 되도록 쌓기나무를 쌓는 방법은 모두 몇 가지인지 구하시오.

<2007 서울시 교육청>

먼저 2006년 민사고 문제를 풀어보자.

위에서 말한 쌓기나무의 개수를 구하는 방법을 이용하여 쌓기나무의 개수가 정해진 칸의 개수를

구하면

			1
			2
			2
2	1	2

⇨

		1	1
	1		2
	1		2
2	1	2

위에서 본 모양에

앞, 옆에서 본 모양의

개수를 쓴다

1에 해당하는 각 줄의

칸을 채운다

앞, 옆에서 보았을 때 단 한 칸만 있는 경우는 1에 해당하는 줄이므로 이미 그 개수를 써 넣었고, 가장 큰 수인 2가 들어갈 수 없는 칸은 비어 있는 나머지 4칸에는 없다.

즉, 이 문제에서는 개수가 정해진 칸이 3개이고, 정해지지 않는 칸이 4개이다.

따라서 쌓기나무를 가장 많이 사용할 때는 빈 4칸에  쌓기나무가 2개씩 들어갈 때이므로 11개이고

		1	1
2	1	2	2
2	1	2	2
2	1	2

가장 적게 사용할 때는 아래 그림과 같이 9개일 때이다.

		1	1
2	1	1	2
1	1	2	2
2	1	2

또는

		1	1
1	1	2	2
2	1	1	2
2	1	2

이제 쌓은 모양의 가짓수를 구하면

1) 쌓기나무가 11개일 때에는 위에서 보는 바와 같이 1가지이고

2) 9개일 때에는 위에서 구한 것과 같이 2가지가 나온다.

3) 10개일 때에는 네 칸 중에서 한 칸만 1이 들어가면 되므로 4가지가 나온다.

		1	1
①	1	2	2
2	1	2	2
2	1	2

		1	1
2	1	2	2
①	1	2	2
2	1	2

		1	1
2	1	2	2
2	1	①	2
2	1	2

		1	1
2	1	①	2
2	1	2	2
2	1	2

따라서 쌓은 모양의 가짓수는 1+2+4=7(가지) 이다.

2007년 서울 교육청 문제 역시 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고 쌓을 수 있는 모양의 가짓수를 구하는 문제인데 초등 6학년 논리적 사고력 문제로 나왔다. 상당히 어려운 문제이긴 하지만 앞의 원리를 이용하면 충분히 해결할 수 있다.

먼저 쌓기나무의 개수를 구하는 방법을 이용하여 쌓기나무의 개수가 정해진 칸의 개수를 구하면

			2
			3
			2
3	2	2

⇨

			2
			3
		2	2
3	2	2

⇨

×	×		2
3	×		3
×	×	2	2
3	2	2

위에서 본 모양에

앞, 옆에서 본 모양의

개수를 쓴다

단 한 칸만 있는

경우의 칸을 채운다

가장 큰 수인 3이 들어

갈 수 없는 칸을 찾아

×표한 다음 3이 들어

갈 칸을 채운다

개수가 정해진 칸이 2개이고, 개수가 정해지지 않는 칸이 5개이다. 개수가 정해지지 않은 칸은 1개 또는 2개가 들어갈 수 있다.

따라서 개수가 가장 많을 때는 5개 빈 칸에 모두 2개가 들어가는 경우이므로 15개

가장 적을 때는 다음과 같은 11개일 때이다.

2	2		2
3	2		3
2	2	2	2
3	2	2

1	2		2
3	1		3
1	1	2	2
3	2	2

가장 많을 때                          가장 적을 때

이제 11개에서 15개까지 각각의 경우의 가짓수를 구하면

1) 쌓기나무가 11개일 때와 15개일 때는 각각 1가지이고

2) 쌓기나무가 12개일 때는 5개 빈 칸에 2를 2개 넣고, 1을 3개 넣는 것이므로 5개 칸에 2를 두 번 넣는 경우는 모두 10가지가 나온다. 그 중 가능한 경우는 다음과 같은 6가지가 나온다.

2	2		2
3	1		3
1	1	2	2
3	2	2

2	1		2
3	2		3
1	1	2	2
3	2	2

2	1		2
3	1		3
1	2	2	2
3	2	2

2	1		2
3	1		3
2	1	2	2
3	2	2

1	2		2
3	2		3
1	1	2	2
3	2	2

( ○ )             ( ○ )            ( ○ )             ( × )            ( ○ )

1	2		2
3	1		3
1	2	2	2
3	2	2

1	2		2
3	1		3
2	1	2	2
3	2	2

1	1		2
3	2		3
1	2	2	2
3	2	2

1	1		2
3	2		3
2	1	2	2
3	2	2

1	1		2
3	1		3
2	2	2	2
3	2	2

( ○ )            ( ○ )             ( × )            ( × )             ( × )

3) 쌓기나무가 13개일 때는 5개 빈 칸에 2를 3개 넣고, 1을 2개 넣는 것이므로 5개 칸에 1을 두 번 넣는 경우는 모두 10가지가 나온다. 그 중 가능하지 못한 경우는 아래 그림 1가지뿐이므로 쌓을 수 있는 모양은 모두 9가지가 나온다.

1	1		2
3	2		3
2	2	2	2
3	2	2

(가능하지 못한 경우)

4) 쌓기나무가 14개일 때는 5개 빈 칸에 2를 4개 넣고, 1을 1개 넣는 것이므로 5개 칸에 1을 한 번 넣는 경우는 모두 5가지가 나오고 모두 가능하다.

따라서 모두 1+1+6+9+5 = 22(가지) 쌓는 방법이 있다.