【 영재교육원 진학위한 수학특강 (9) 도형 붙이기(上)】

교육청 영재교육원 선발 시험의 경우 1단계는 논리적 사고력 검사를 치른 후 그 점수를 포함하여

학교의 자체 기준에 의해 추천을 받는다.

2차, 3차 단계는 같은 날 창의적 문제해결력 검사 1, 2를 치른다.

검사 1의 측정능력은 수학지식+사고능력을 측정하는 것으로 단답형과 간단한 서술형 문제인데

정확한 답이 있는 문제이고, 서술형은 풀이에 따른 사고과정을 기술해야 한다.

검사 2의 측정능력은 수학지식+사고능력+창의적 문제해결력을 측정하는 것인데 다답형과 서술형으로

종합적 수학적 능력을 측정할 수 있는 개방형 문제가 나온다.

검사1은 10문항이 나오고, 검사 2는 5문항이 나온다.

검사 2의 개방형 문제로 가장 대표적인 문제가 도형붙이기 문제이다.

2006년 선발시험의 경우 거의 전 학년에 걸쳐 문제가 출제되었는데. 4학년의 경우 배점이

100점 만점에 45점이나 되었다.

2007년에도 검사 2의 개방형 문제로 역시 전 학년에 걸쳐 출제되었다.

도형붙이기 문제는 어떤 도형을 변끼리 붙여서 만들 수 있는 모양의 가짓수를 찾는 문제이다.

예를 들어 크기가 같은 정사각형 3개를 붙여서 만들 수 있는 도형은 다음과 같이 2가지가 나온다.

도형붙이기 문제에서는 항상 다음과 같은 가정이 따른다.

첫째. 돌리거나 뒤집어서 같은 모양은 한 가지로 본다는 것이다.

둘째, 도형을 변끼리 붙일 때. 서로 겹치거나 띄울 수 없고, 또 남는 부분이 있어서는 안 된다.

셋째, 도형을 붙였을 때, 붙인 모양과는 상관없이 전체의 모양만 같으면 같은 모양으로 본다는 것이다.

1. 폴리노미노

지금은 많이 잊혀지긴 했지만 테트리스 게임을 모르는 사람들은 거의 없을 것이다.

테트리스 게임에 나오는 그 조각들은 정사각형 4개를 붙여 만든 도형이다.

정사각형을 붙여 만든 도형을 폴리노미노라고 하는데

정사각형을 1개 붙여 만든 도형을 모노미노 (  )

정사각형을 2개 붙여 만든 도형을 도미노 (  )

정사각형을 3개 붙여 만든 도형을 트리미노 (  )

정사각형을 4개 붙여 만든 도형을 테트로미노

정사각형을 5개 붙여 만든 도형을 펜토미노라고 한다.

테트리스 게임의 어원은 바로 여기에서 온 것이다.

정사각형을 4개 붙여 만든 테트로미노는 다음과 같이 5가지가 있는데 게임에서 사용되는 조각도 바로 이 조각들이다.

그런데 실제 게임에서는 7가지 조각이 나온다. 다음 두 조각은 뒤집었을 때 같아지는 도형이긴 하지만 테트리스 게임에서는 돌리기만 가능할 뿐 뒤집기는 사용하지 않기 때문에 다른 도형으로 인식되기 때문이다.

영재교육원이 처음 생긴 1998년 청주교대 영재교육원 문제로 정사각형 5개를 붙여 만든 펜토미노를 모두 찾는 문제가 나왔다. 펜토미노는 모두 12가지 조각이 있는데 그것을 빠짐없이 찾아보라는 것이다.

도형붙이기 문제는 누구나 쉽게 접근할 수는 있지만 하나도 빠짐없이 찾는 것은 쉬운 일이 아니다. 또한 돌리거나 뒤집어서 같은 모양은 하나의 모양으로 생각해야 하기 때문에 같은 모양이 나오지 않게 찾아야 한다.

펜토미노 12조각을 찾는 문제는 다음과 같이 기준을 정해서 풀면 된다.

① 한 줄에 5개의 정사각형을 붙인 경우

② 한 줄에 4개의 정사각형을 붙인 경우

③ 한 줄에 3개의 정사각형을 붙인 경우

ⅰ) 위(또는 아래)에 2개를 붙인 경우

ⅱ) 위와 아래에 각각 1개를 붙인 경우

④ 한 줄에 2개의 정사각형을 붙인 경우

그런데   와   는 돌려서 같은 모양이므로 한 가지로 보면 구한 펜토미노는 12가지가 된다.

이제 도형붙이기가 어떤 것인지 감을 잡았을 것이다.

그럼 교육청 영재교육원에서 매년 전 학년에 걸쳐 나오는 도형붙이기 문제로 어떤 문제들이 있었는지

살펴  보자.

2. 영재교육원 기출유형

<2006 교육청 초등 3>

▶ [보기 1]과 같이 정사각형을 둘로 나누어 삼각형 두 개를 만들었습니다. 이 삼각형 두 개를 붙이면

[보기 2]와 같이 3개의 모양을 만들 수 있습니다.

(1) [보기 1]의 삼각형을 3개 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 모양들을 각각 그리시오. (단, 돌리거나

뒤집어서 겹쳐지는 것은 같은 것으로 봅니다.)

(2) 같은 방법으로 [보기 1]의 삼각형 4개를 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 모양들을 각각 그리시오. (단, 돌리거나 뒤집어서 겹쳐지는 것은 같은 것으로 봅니다.)

사실 이 문제는 2005년 경원대에서도 똑같이 출제된 적이 있는 문제였다.

(1)번 문제를 보면 모양을 그리는 란이 6개가 주어졌는데, 실제 정답의 모양의 가짓수는 4개이고,

배점이 4점이었다.

(2)번 문제도 모양을 그리는 란이 18개가 있지만, 실제 정답의 가짓수는 14개이고, 배점이 14점이었다.

이것을 보면 맞힌 모양의 개수만큼 점수를 주는 것임을 알 수 있다. 이것이 바로 대표적인 다답형 문제인 것이다.

이 문제의 정답인 14개를 모두 찾는 것은 정말 어려운 것이다.

이제 이 문제를 해결해 보자. 우리는 이 문제를 해결하는 방법을 돌려 푼다고 한다.

1) 먼저 삼각형 2개를 붙일 때 만들 수 있는 모양을 알아보자.

정사각형을 둘로 자른 삼각형 (직각이등변삼각형)은 변의 길이가 두 가지가 있다.

따라서 붙일 수 있는 방법은 긴 변끼리 붙이거나 짧은 변끼리 붙여야 한다.

삼각형 2개를 붙일 때 만들 수 있는 모양은 문제에서 주어진 바와 같이 긴 변끼리 붙이는 방법 1가지와 짧은 변끼리 붙이는 방법 2가지가 있다.

2) 삼각형 3개를 붙일 때 만들 수 있는 모양은 위의 2개를 붙여 만든 모양에서 삼각형 하나를 더 붙이면 된다.

이것도 짧은 변끼리 붙일 때는 붙이는 방법이 2가지가 나오고, 긴 변끼리 붙일 때는 한가지 밖에 없음에 주의한다. 그리고 같은 모양을 만들면 안 되는데 그 요령은 3개를 붙인 모양에서 앞에서 이용한 2개짜리 모양이 나오면 그 모양은 같은 모양이라는 것을 이용하면 된다.

따라서 다음과 같이 4가지 모양이 나온다.

2) 삼각형 4개를 붙일 때 만들 수 있는 모양도 마찬가지 방법으로 3개를 붙여 만든 모양에 삼각형 하나를 더 붙이는 방법을 이용한다.

이 때 우리는 돌려 푸는 방법을 쓰는데 3개를 만든 모양에서 하나의 삼각형을 도형 주위에 돌려 가면서 붙인다.

그런데 ②번, ⑦번 도형은 같은 모양이므로 하나를 제외시킨다.

이런식으로 하면 14가지를 모두 찾을 수 있는 것이다.

몇 문제 더 풀면 좋겠지만 지면상 이번 호는 여기서 줄이고 다음 호에서 2006년 교육청 문제 및 2007년

기출문제도 몇 문제 더 살펴보도록 하겠다.