영재교육원 진학위한 수학특강-② 양팔저울과 가짜 금화

1. 양팔저울과 관련된 사고력 문제 유형

일반적인 저울의 무게를 재고 읽는 법, 무게의 단위, 무게의 합과 차를 구하는 것이 일반 교과의 내용에 나오지만 양팔저울에 관련된 문제는 교과 아닌 사고력 문제로 아주 많이 출제된다.

그 중 가장 많이 나오는 유형이 물건이 올려진 양팔저울을 보고 물건의 무게를 비교하거나 알아보는 문제이다.

▶ <보기>의 그림은 3개의 돌멩이 ㉠, ㉡, ㉢의 무게를 비교하기 위해 시소 위에 올려놓은 것입니다. 가장 무거운 돌멩이부터 차례로 쓰시오.[2006년 교육청]

㉠

㉠

㉠

㉠

㉠

㉢

㉡

㉢

㉢

㉢

㉡

이 유형의 문제는 2007년 서울 교육청의 문제에서도 출제되었고, 2007년 경원대 2차 시험에서는 무려 5문제가 나왔다.

이러한 문제들은 상호간의 관계를 눈여겨보면 그리 어렵지 않게 해결할 수 있는 문제들로서 주로 단답형 2차 시험에 나온다.

위의 문제에서는 첫째 번 그림에서 ㉢ > ㉠ 이고, 셋째 번과 넷째 번 그림을 비교해보면  ㉠+㉠ > ㉢, ㉠+㉠ = ㉡ 이므로 ㉡ > ㉢임을 알 수 있다. 따라서 무거운 순서대로 쓰면 ㉡, ㉢, ㉠ 이 된다.

둘째 번 유형은 양팔저울과 추를 이용하여 잴 수 있는 무게를 알아보는 것이다.

▶ 양팔저울과 1g에서 13g의 저울추를 이용하여 1g에서 13g까지의 물건의 무게를 재려고 합니다.

(1) 측정하려는 물건과 추를 서로 다른 접시에 올려놓을 때 최소 몇 개의 추가 필요합니까?  자신의 생각을 설명하시오.

(2) 측정하려는 물건과 추를 하나의 접시에 함께 올려놓을 수 있다고 할 때 최소 몇 개의 추가 필요합니까? 자신의 생각을 설명하시오. [2005년 교육청]

(1)번 문제는 양팔저울 첫째번 글에서 말한 것처럼 추를 한쪽 접시에만 올려놓을 때 잴 수 있는 무게를 알아보는 것이고,

(2)번 문제는 추를 양쪽 접시에 올려놓을 수 있을 때 잴 수 있는 무게를 알아보는 것이다.

이 유형의 문제는 양팔저울 문제라기보다는 오히려 추에 관련된 문제이다.

양팔저울과 추 대신 눈금 없는 자를 이용해서 잴 수 있는 길이를 구하라는 것과 동일한 유형이다. 즉 《 1cm부터 13cm까지의 막대가 각각 하나씩 있을 때 1cm에서 13cm까지 의 길이를 재려면 최소 몇 개의 막대가 필요합니까? 》로 문제를 바꾸면 동일한 문제가 된다.

이번 주제는 다음에 다룰 셋째 번 유형이므로 여기에서는 위 문제에 대한 답만 쓰고 넘어가기로 한다.

(1)번 답은 1g, 2g, 4g, 8g 추 4개가 있으면 된다

(2)번 답은 1g, 3g, 9g 추 3개만 있으면 된다

셋째 번 유형이 양팔저울을 써서 가짜 금화(동전)를 찾는 문제이고 이것이 이번 주제이다.

2. 양팔저울과 가짜 금화

먼저 어떤 문제들이 출제되었는지 보자.

▶ 크기와 모양이 같은 12개의 동전이 있는데 그 중 1개의 동전은 다른 동전보다 무겁습니다. 양팔저울을 이용하여 무거운 동전을 찾아낸다고 할 때 양팔저울에 최소한 몇 번을 재어야 무거운 동전을 찾을 수 있습니까? [2004년 교육청]

▶ 크기와 모양이 같은 구슬이 27개 있습니다. 이 중 1개의 구슬이 다른 구슬보다 무겁습니다. 정확히 잴 수 있는 양팔저울이 있다면 최소한 몇 번을 재야 무게가 다른 구슬을 찾을 수 있습니까? [2003년 한영외고]

▶ 구슬 90개 중 1개의 구슬만 가볍습니다. 가장 적은 횟수의 양팔저울을 써서 가벼운 구슬을 찾아내는 방법을 설명하시오. [2005년 경북대 영재교육원]

▶ 저울을 한 번 사용하는데 1000원인 양팔저울이 있습니다. 동전이 26개 있는데 이 중 하나는 가짜 동전으로 조금 가볍다고 합니다. 저울을 이용하여 가짜 동전을 찾으려고 할 때, 최소한 얼마의 돈이 필요합니까? [2006년 대진대 영재교육원]

위 네 문제는 개수만 차이가 날 뿐 완전히 같은 문제이다. 구슬이냐 동전이냐, 가짜가 무겁거나 가볍다의 차이는 문제를 푸는데 아무런 차이가 없다.

그리고 문제의 성격상 3차 시험인 창의적 문제해결력Ⅱ(개방형, 다답형 문제)에서 자주 출제된다.

3. 양팔저울의 최소 횟수

첫 번째 [2004년 교육청]문제부터 풀어 보자. 사실 이 한 문제만 풀면 나머지는 너무 쉽게 해결될 것이다.

크기와 모양이 같은 12개의 동전 중에 1개의 동전이 다른 동전들보다 무거울 때, 양팔저울을 이용하여 이 무거운 동전을 찾아내려면 양팔저울을 최소한 몇 번 이용해야 하는가? 하는 문제다.

여기서 한 가지 ‘최소한’이란 의미를 어떻게 이해해야 할지 먼저 생각해 봐야 한다. 만일 말

그대로 ‘최소로 찾을 수 있는 경우’라고 이해한다면 1번 만에도 가능한 경우가 생긴다. 즉 아무렇게나 2개의 동전을 골라 양팔저울의 양쪽에 1개씩 올려놓았을 때 운 좋게도 한 쪽으로 기운다면 바로 무거운 동전을 찾을 수도 있기 때문이다. 물론 운이 나쁜 경우에는 6번 만에 무거운 동전을 찾게 될 수도 있다.

하지만 여기서 최소 이용횟수를 물은 것은 그런 의미가 아니다. 어떤 경우에도 반드시 찾을 수 있는 최소 이용횟수를 구하라는 것으로 이해해야 한다. 수학에서 요구하는 답은 일반적으로 항상 성립하는 해답을 말하는 것이지 특수한 상황에서 가능할 수 있는 경우까지 포함하는 것은 아니기 때문이다. 따라서 앞의 방법처럼 운이 좋으면 1번, 운이 없으면 6번일 경우라면 항상 가능한 최소 이용회수는 6번이라고 해야 한다. 당연히 이것은 출제자가 의도한 방법이 아니다.

그럼 다른 방법으로 무거운 구슬을 찾아내는 방법을 알아보자.

이 방법은 반씩 나누어 재는 방법인데 이 방법을 사용하면 3번 만에 무거운 구슬을 찾아낼 수 있다.

동전을 ①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫이라 하자.

양팔저울을 한 번 써서 한쪽 접시에는 ①,②,③,④,⑤,⑥을, 다른 접시에는 ⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫를 올려놓는다.

그러면 다음과 같이 2가지 경우가 생긴다.

①,②,③,④,⑤,⑥ > ⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫ 또는 ①,②,③,④,⑤,⑥ < ⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫

무거운 쪽에 가짜 동전이 있으므로 ①,②,③,④,⑤,⑥ > ⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫ 경우에는

①,②,③,④,⑤,⑥ 중의 하나가 가짜 동전이므로 양팔저울을 두 번째 사용하여 한쪽 접시에는 ①,②,③을, 다른 접시에는 ④,⑤,⑥을 올려놓는다.

그러면 다음과 같이 2가지 경우가 생긴다.

①,②,③ > ④,⑤,⑥ 또는 ①,②,③ < ④,⑤,⑥

무거운 쪽에 가짜 동전이 있으므로 ①,②,③ > ④,⑤,⑥의 경우 ①,②,③ 중의 하나가 가짜 동전이다.

이제 양팔저울을 세 번째 사용하여 한쪽 접시에는 ①, 다른 접시에는 ②를 올려놓는다.

그러면 다음과 같이 3가지 경우가 생긴다.

①> ② 또는 ① < ② 또는 ① = ②

① > ② 경우는 가짜 동전이 ①이고

① < ② 경우는 가짜 동전이 ②이고

① = ② 경우는 가짜 동전이 ③이다.

반씩 나누어 재는 이 방법은 운이 좋건 나쁘건 간에 항상 3번 만에 가짜 동전을 찾아낼 수 있다.

1번 사용 결과	2번 사용 결과	3번 사용 결과	가짜 동전
①,②,③,④,⑤,⑥ > ⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫	①,②,③ > ④,⑤,⑥	① > ② ① < ② ① = ②	① ② ③
	①,②,③ < ④,⑤,⑥	④ > ⑤ ④ < ⑤ ④ = ⑤	④ ⑤ ⑥
①,②,③,④,⑤,⑥ < ⑦,⑧,⑨,⑩,⑪,⑫	⑦,⑧,⑨ > ⑩,⑪,⑫	⑦ > ⑧ ⑦ < ⑧ ⑦ = ⑧	⑦ ⑧ ⑨
	⑦,⑧,⑨ < ⑩,⑪,⑫	⑩ > ⑪ ⑩ < ⑪ ⑩ = ⑪	⑩ ⑪ ⑫

이 문제의 풀이를 쓸 때 중요한 것 중 하나는 위의 표처럼 정리를 할 수 있어야 한다.

양팔저울과 가짜 금화 문제는 3차 서술형 문제로 나오기 때문에 생각한 것을 위의 표에서처럼 간단명료하게 나타낼 수 있어야 한다.

4. 양팔저울 최소 횟수의 일반화

동전이 12개일 때는 반씩 나누어 재는 방법이 가장 적은 횟수를 찾는 방법일 수는 있지만 다른 개수에서도 항상 최선의 방법이 되는 것은 아니다.

또 엄밀하게 보면 계속 반씩 나누어서 한 것도 아니다. 세 번째 양팔저울을 사용할 때는 반을 나눈 것이 아니라 3등분하여 그 중의 둘을 올려놓았다.

그렇다면 양팔저울을 이용하여 가짜 동전이나 금화를 찾는 일반적인 해법은 무엇인지 알아보자.

앞에서 양팔저울로 2개의 동전의 무게를 재면 다음과 같이 항상 3가지의 다른 결과를 얻을 수 있었다.

① > ②, ① < ②, ① = ②

따라서 양팔저울을 한 번 쓰면 3개의 동전 중에서 무게가 다른 1개의 동전을 찾을 수 있다.

그러면 양팔저울을 2번 쓰면 최대 몇 개의 동전 중에서 1개의 무게가 다른 동전을 찾을 수 있을까?

동전 3개를 1묶음으로 보면 동전 9개는 3묶음(3×3)이 된다. 양팔저울을 한 번 써서 한 묶음씩 달면 가짜 동전이 들어 있는 1묶음을 찾을 수 있다. 그리고 양팔저울을 두 번째 써서 가짜 동전이 들어 있는 묶음 속에서 가짜 동전 하나를 찾을 수 있게 된다.

즉 9개의 동전이 있다면 양팔 저울을 2번만 쓰면 가짜 동전 1개를 찾을 수 있는 것이다.

1번 사용 결과	2번 사용 결과	가짜 동전
①,②,③ > ④,⑤,⑥ (①,②,③ 묶음에 가짜가 있음)	① > ② ① < ② ① = ②	① ② ③
①,②,③ < ④,⑤,⑥ (④,⑤,⑥ 묶음에 가짜가 있음)	④ > ⑤ ④ < ⑤ ④ = ⑤	④ ⑤ ⑥
①,②,③ = ④,⑤,⑥ (⑦,⑧,⑨ 묶음에 가짜가 있음)	⑦ > ⑧ ⑦ < ⑧ ⑦ = ⑧	⑦ ⑧ ⑨

그러면 양팔저울을 3번 쓰면 최대 몇 개의 동전 중에서 1개의 무게가 다른 동전을 찾을 수 있을까?

동전 9개를 1묶음으로 생각하면 되므로 27(3×3×3)개의 동전 중에서 1개의 무게가 다른 동전을 찾을 수가 있는 것이다.

따라서 이와 같은 방법으로 양팔저울의 최소 횟수 문제를 해결할 경우 최소 횟수는 다음과 같다.

동전의 개수가 3개까지는 1번

4개부터 9(3×3)개까지는 2번

10개부터 27(3×3×3)개까지는 3번

28개부터 81(3×3×3×3)개까지는 4번

82개부터 243(3×3×3×3×3)개까지는 5번 만에 찾게 되는 것이다.

이 원리를 알면 앞의 기출 문제는 정말 쉬운 것이 된다.

마지막으로 독특한 발상의 창의적인 답안 하나를 소개해 볼까 한다.

앞의 넷째 번 문제인 2006년 대진대 문제인데 이 문제 역시 동전이 26개 있으므로 양팔저울을 3번 이용하면 되고, 한 번 이용하는데 1000원이므로 3000원이 있으면 된다. 이게 우리가 알고 있는 정답이라 할 수 있다.

그런데 실제 이 시험을 치룬 어떤 친구는 1000원이라 하였고 그 이유를 다음과 같이 설명하였다.

동전 26개를 반씩 나누어 한쪽 접시에 13개씩 올려놓으면 가짜 동전이 있는 접시가 가벼우므로 올라갈 것이다. 그 다음에 양쪽 접시에서 동전을 하나씩 동시에 빼어 나간다. 어느 순간 양팔저울이 평형을 이룰 때 그 직전 가짜 동전이 있는 접시에서 뺀 동전이 바로 가짜 동전이다. 그러므로 저울은 단 한 번만 썼다고 했다.

정답은 아니지만 참으로 기발한 아이디어라 할 수 있다. 물론 그 친구는 합격되었다.