영재교육원 진학위한 수학특강 - ③ 주사위의 7점 원리

1. 주사위의 7점 원리

우리가 일반적으로 사용하고 있는 주사위의 눈을 보면 서로 마주 보고 있는 면의 눈의

합은 항상 7이다. 즉 1의 눈이 쓰여진 면과 마주 보는 면의 눈은 6이고, 2의 눈이 쓰여진

면과 마주 보는 면의 눈은 5이다. 이처럼 주사위에서 서로 마주 보는 면의 눈의 합이 항상

7이 되는 것을 주사위의 7점 원리라고 한다.

2. 기출 문항 분석

주사위의 7점 원리를 이용한 문제는 교육청 영재교육원 시험에서 해마다 거의 빠짐없이 나오는 문제 유형 중 하나이다. 이 번 2007년도 서울시 교육청 영재교육원 시험에서도 한 문제가 출제되었다.

먼저 문제를 살펴보자.

▶ 주사위 6개를 아래의 그림과 같이 이어 놓았습니다. 서로 맞닿는 면의 두 눈의 합이 항상 6이라고 할 때, 면 ㉠에 알맞은 눈의 수를 구하시오.[2004년]

5

2

㉠

<그림1>

▶ 주사위를 다음과 같이 쌓았습니다. 바닥 면을 포함하여 겉면에 보이는 주사위의 눈의 합이 가장 크게 될 때의 값을 구하시오. (주사위에서 마주 보는 두 눈의 합은 7입니다.)[2005년]

<그림2>

▶ 1부터 6까지의 숫자를 사용하여 서로 반대편의 두 수의 합이 모두 7이 되도록 만든 주사위가 있습니다. 다음은 이 주사위 4개를 쌓아놓고 앞, 위, 오른쪽에서 바라보면서 그린 모양입니다. 주사위끼리 맞닿은 부분들에 적힌 수들의 합이 가장 큰 경우와 가장 작은 경우의 값을 각각 구하시오.[2006년]

<앞>

1

1

1

1

3

5

3

4

5

<뒤>

<오른쪽>

<그림3>

▶ 왼쪽과 같은 주사위 3개를 쌓아서 오른쪽 모양을 만들었습니다. 주사위끼리 맞닿는 면에 있는 눈이 서로 같다고 할 때, 면 ㉮에 알맞은 눈의 수를 구하시오.[2007년]

<그림4>

1

2

4

1

6

5

㉮

3. 기출 문제 풀이

이제 2004년 문제부터 하나씩 차례대로 풀어 보자

[2004년 문제]

<그림1>에서 첫째 번 주사위의 앞면의 눈은 5이므로 마주 보는 면의 눈은 2가 된다. (7점 원리) 서로 맞닿는 면에 있는 눈의 합은 항상 6이라고 하였으므로

둘째 번 주사위의 앞면의 눈은 4(6-2=4), 마주 보는 면의 눈은 3이다.

셋째 번 주사위의 앞면의 눈은 3, 마주 보는 면의 눈은 4이다.

셋째 번 주사위의 윗면의 눈은 2이므로 아랫면의 눈은 5이다.

따라서 셋째 번 주사위의 오른쪽 면은 1 또는 6이다.

그런데 셋째 번 주사위의 오른쪽 면은 6이 될 수 없다. 왜냐하면 맞닿는 면의 눈의 합은 항상 6이라고 하였으므로 맞닿는 주사위의 눈이 0이 될 수 없기 때문이다.

셋째 번 주사위의 오른쪽 면의 눈을 알아냈다면 이 문제는 다 푼 것이다.

셋째 번 주사위의 오른쪽 면부터 눈을 쓰면

1 – 5 – 2 – 4 – 3 – 3 – 4

따라서 면 ㉠에 알맞은 눈은 4이다.

7점 원리를 알고, 조건에 맞게 인접한 주사위의 맞닿은 면의 눈을 찾아나가면 쉽게 풀 수 있는 문제이다.

[2005년 문제]

2005년 문제는 그리 쉽지 않다.

2004년 문제는 붙여 있는 주사위의 눈을 알아내는 문제이지만 2005년 문제는 조건에 맞게 주사위를 붙여나가야 한다.

그리고 주사위의 7점 원리를 이용한 문제 중에서 가장 많이 나오는 문제 유형이다.

이 문제를 접근할 때 처음에 어떤 식으로 생각을 해야 할까?

무척이나 복잡하게 보이는 이 문제를 풀기에 앞서 간단한 경우에 대해 먼저 생각해 보자.

다음 <그림5>와 같이 한 줄에 주사위가 3개만 있는 경우에 겉면에 보이는 주사위의 눈이 가장 크게 될 때의 값을 알아보자

<그림5>

이렇게 간단한 경우는 별 어려움 없이 구할 수 있을 것이다.

겉면에 있는 주사위의 눈이 가장 크게 되려면 겹쳐진 면에 있는 눈이 가장 작으면 된다.

즉 3층 주사위의 아랫면의 눈이 1이고, 1층 주사위의 윗면의 눈이 1이면 된다.

2층 주사위는 어떤 경우라도 위와 아래 두 면의 눈의 합이 7이기 때문에 아무래도 상관없다.(7점 원리)

결국 겹쳐진 면의 눈의 합이 가장 작을 때는 1+7+1=9이다.

주사위 한 개의 여섯 면의 눈의 합은 1+2+3+4+5+6=21이므로

주사위 3개의 여섯 면의 눈의 합은 21×3=63이다.

따라서 위에서 겉면의 주사위의 눈의 합이 가장 크게 될 때의 값은 63-9=54가 된다.

반대로 겉면에 보이는 주사위의 눈이 가장 작게 될 때의 값은 겹쳐진 면에 있는 눈이 가장 크면 되므로 3층 주사위의 아랫면과 1층 주사위의 윗면의 눈이 6이 되고, 구하는 값은 63-19=44가 된다.

우리가 이렇게 간단한 경우로 주사위 겉면의 눈의 합을 구하면서 알 수 있었던 원리들을 다시 정리해 보면 다음과 같다.

① 주사위의 여섯 면의 눈의 합은 21이다.

② 주사위 겉면의 눈의 합은 <(주사위의 개수)×21-(겹쳐진 면의 눈의 합)>이다.

③ 주사위 겉면의 눈의 합이 가장 크게 하려면 겹쳐지는 면의 눈이 가장 작게 되도록 붙여야 한다.

④ 마주 보는 두 면이 겹쳐진 주사위는 겹쳐진 두 면의 눈의 합이 항상 7이다.

이러한 원리를 이용하여 복잡하게 보이는 원래의 문제(그림2)를 풀어 보자.

① 주사위의 개수는 15개이다. 따라서 주사위 15개의 눈의 합은 15×21=315

② 위 아래로 마주 보는 두 면이 붙어 있는 주사위는 5개, 옆으로 마주 보는 두 면이 붙어 있는 주사위는 6개이다. 따라서 이 주사위들의 붙어 있는 면의 눈의 합은 11×7=77이다.

③ 마주 보는 두 면이 붙어 있는 경우를 제외하고, 한 면만 붙어 있는 주사위는 아래 <그림6>의 색칠한 주사위 6개. 이 경우 그 한 면이 1이 되게 붙이면 되므로 이 주사위들의 겹쳐진 한 면의 눈의 합은 6×1=6

<그림6>

④ 마주 보는 두 면이 붙어 있는 경우를 제외하고, 두 면이 붙어 있는 주사위는 아래 <그림7>의 색칠한 주사위 4개와 가운데 보이지 않는 줄의 2층 주사위로 모두 5개.

따라서 이 주사위의 붙어 있는 두 면의 눈은 가장 작은 눈인 1,2를 붙이면 되므로 겹쳐진 눈의 합은 5×(1+2)=15

<그림7>

⑤ 마주 보는 두 면이 붙어 있는 경우를 제외하고, 세 면이 붙어 있는 주사위는 가운데 보이지 않는 줄의 1층과 3층 주사위로 2개.

따라서 이 주사위의 붙어 있는 두 면의 눈은 가장 작은 눈인 1, 2, 3을 붙이면 되므로 눈의 합은 2×(1+2+3)=12

따라서 겉면의 눈의 합이 가장 클 때는 ①에서 구한 눈의 합에서 ②, ③, ④, ⑤에서 구한 눈의 합을 빼면 된다. 즉  315-77-6-15-12 = 205 가 답이다.

이와 같이 복잡한 문제를 풀 때는 먼저 간단한 경우에서 시작하여 문제의 원리를 알아낸 후 그 원리를 확대 적용하여 본 문제를 푸는 것이 좋은 해결 방법이 되는 경우가 많다.

[2006년 문제]

이 문제는 주사위의 7점 원리를 이용하기 이전에 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고 주사위가 쌓인 모양을 먼저 알아내야 한다.

이것은 초등학교 2학년 쌓기나무 단원에서 심화과정에 나오는 문제유형인데, 위의 문제는 워낙 간단한 문제(쌓기나무 유형의 문제로 볼 때)이지만, 위 ․ 앞 ․ 옆에서 본 모양을 보고 쌓인 쌓기나무의 모양을 알아내는 문제는 그 자체로 상당한 학습이 요구될 뿐더러 영재교육원, 경시, 학교 심화 문제로 자주 나오는 중요한 문제유형이므로 그 주제는 다음에 다루기로 한다.

<그림3>의 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고 주사위가 쌓인 모양을 그리면 다음 <그림8>과 같다.

<그림8>

1

1

1

1

3

5

5

4

3

위 모양을 보면서 주사위의 7점 원리를 이용하여 풀면 그리 어렵지 않다.

주사위끼리 맞닿는 부분은 2층 주사위의 아랫면, 1층 오른쪽 주사위의 왼쪽 면, 1층 가운데 주사위의 윗면 ․ 오른쪽 면 ․ 왼쪽 면, 1층 왼쪽 주사위의 오른쪽 면으로 모두 6개면이다.

그 중 주사위의 7점 원리에 의해 면의 눈이 정해진 것을 알아보면

2층 주사위의 아랫면은 2,

1층 오른쪽 주사위의 왼쪽 면은 2,

1층 가운데 주사위의 오른쪽과 왼쪽 면의 눈의 합은 7이다.

따라서 정해진 면의 눈의 합은 2+2+7=11이 된다.

이제 주사위끼리 맞닿은 부분들에 적힌 수들의 합이 가장 큰 경우와 가장 작은 경우는

단지 정해지지 않은 면의 눈이 가장 큰 경우와 가장 작은 경우를 찾으면 된다.

1층 왼쪽 주사위의 오른쪽 면은 가장 큰 경우는 5, 가장 작은 경우는 2이다. (보이는 면의 수가 1, 3이므로, 그 마주 보는 면은 6, 4이기 때문이다.)

같은 이유로 1층 가운데 주사위의 윗면 또한 가장 큰 경우는 5, 가장 작은 경우는 2이다.

따라서 주사위끼리 맞닿은 부분들에 적힌 수들의 합이 가장 큰 경우는 11+5+5=21

주사위끼리 맞닿은 부분들에 적힌 수들의 합이 가장 작은 경우는11+2+2=15이다.

[2007년 문제]

<그림4>에서 주사위의 7점 원리만을 이용하면

2층 주사위의 아랫면은 2이므로 1층 왼쪽 주사위의 윗면도 역시 2가 된다.

1층 왼쪽 주사위의 앞면은 6, 뒷면은 1, 윗면은 2, 아랫면은 5가 되므로 오른쪽 면은 3 또는 4가 된다.

1층 오른쪽 주사위의 왼쪽 면은 3 또는 4가 되고, 윗면은 1, 아랫면은 6이므로 ㉮ 면은 2 또는 5가 된다.

즉, 7점 원리만을 이용하면 ㉮ 면은 2 또는 5가 되어 답을 구할 수 없다.

여기서 한 가지 짚고 가야 할 것이 있는데 일반적으로 육면체 주사위는 눈의 배열방향에 따라  2 가지 종류로 나뉜다는 사실이다. (정확한 것은 아니지만 필자가 보기에는 일본 및 우리나라 제품과 미국 제품이 다른 것을 여러 번 볼 수 있었다. 물론 주사위는 어느 것이든지 7점 원리는 적용된다.)

2가지 종류는 다음과 같은 좌회전 주사위, 우회전 주사위이다.

좌회전 주사위란 <그림9>처럼 1, 2, 3의 눈을 시계 반대 방향으로 배열한 주사위이고,

우회전 주사위는 <그림10>처럼 1, 2, 3의 눈을 시계 방향으로 배열한 주사위를 말한다.

<그림9>

<그림10>

언뜻 보기에는 같은 주사위로 보이겠지만 이 두 주사위는 결코 같지 않다. 직접 종이를 오려서 2개의 주사위를 만들어 보라. 확연히 다르다는 것을 알 수 있을 것이다.

위의 문제에서도 어떤 주사위인가에 따라서 면 ㉮의 눈은 하나의 눈으로 정해지는 것이다.

위 문제의 주사위는 아쉽게도 우리나라 제품에는 흔히 볼 수 없는 우회전 주사위이다.

즉, <그림4>의 왼쪽 네모 칸에 있는 주사위는 앞면이 1, 오른쪽 면이 2, 윗면은 4, 아랫면은 3이므로 주사위를 뒤집어 생각하면 우회전 주사위인 것이다.

따라서 <그림4>의 오른쪽 그림 1층의 왼쪽 주사위를 윗면은 그대로 둔 채, 앞면이 6이 되게 돌려 보자. 그러면 <그림11>처럼 오른쪽 면이 4가 됨을 알 수 있다.

<그림11>

이제 같은 방법으로 1층 오른쪽 주사위의 ㉮ 면의 눈을 구할 수 있다.

우회전 주사위의 오른쪽 면은 그대로 둔 채, <그림12>처럼 윗면이 1이 되게 돌려 보자. 그러면 ㉮ 면의 눈은 5가 된다.

<그림12>