영재교육원 진학위한 수학특강 - ④ 연속수

1, 2, 3, 4, … 와 같이 연속된 자연수를 연속수라 한다.

연속수에 관한 문제는 영재교육원에서 자주 출제된 유형 중의 하나로서 주로 3차 서술형 시험에 나온다.

3차 시험은 다답형 또는 개방형 문제를 출제하는데 그 유형에 알맞기도 하지만 정확한 풀이 방법을 모르더라도 수의 조작을 통해서 끈기 있게 풀면 풀 수도 있는 문제이기 때문이다.

1. 기출문항 분석

▶ 1, 2, 3, 4,  와 같이 연속된 수를 연속하는 자연수라 합니다. 75를 37+38, 24+25+26과 같이 연속하는 자연수의 합으로 나타낼 수 있습니다. 이와 같이 75를 가능한 한 여러 가지 방법으로 연속하는 자연수의 합으로 나타내시오. [2005 교육청]

▶ 다음 수를 가능한 한 많은 연속하는 자연수의 합으로 나타내시오. [2004 서울교대]

(1) 90                     (2) 126

▶ 21=10+11=1+2+3+4+5+6 으로 연속하는 자연수의 합으로 표현할 수 있습니다. 63을 이런 식으로 표기할 때, 몇 가지의 경우로 표현할 수 있습니까? [2006 민사고 경시]

2005 교육청 문제는 여러 가지 방법으로 연속수의 합으로 나타내는 문제이고, 2006 민사고 문제는 그 방법의 수를 묻는 문제이고, 2004 서울교대 문제는 그 방법 중에서 가장 많은 연속수의 합으로 나타내는 방법 한 가지를 찾는 것이다.

연속수 문제는 바로 이 3가지 형태로 출제되는데 그 문제를 해결하는 원리는 완전히 같다.

이번 주제는 이 연속수 문제를 가장 효과적으로 해결하는 방법을 알아본다.

이외의 연속수 문제는 연속수의 성질에 관한 문제이다. 연속수와 배수, 연속수와 홀수 짝수 문제 등 그 성질에 관해서도 잘 알아둘 필요가 있다.

2. 수의 조작을 통해 연속수의 합으로 나타내기

초등 5-가 수학 익힘책에도 연속수에 관한 문제가 나온다.

30을 연속하는 수의 합으로 나타내는 문제인데 우선 이 문제를 풀어 보자.

이 문제를 처음 접근할 때, 다음과 같이 수의 조작으로 풀 수 있다.

30 = 10 + 10 + 10

=  9 + 10 + 11

↑             ↑

-1            +1

즉 30을 같은 세 수의 합으로 놓은 다음, 앞의 수는 1을 빼 주고, 뒤의 수는 1을 더하는 방식이다.

같은 요령으로 30을 같은 다섯 수의 합으로 놓고 수의 조작을 하면

30 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6

= 4 + 5 + 6 + 7 + 8

↑    ↑          ↑    ↑

-2    -1           +1   +2

요령은 비슷하지만 좀더 복잡하게 수의 조작을 하여 풀면

30 = 15 + 15

= (7+8) + (7+8)

= 7 + 7 + 8 + 8

= 6 + 7 + 8 + 9

따라서 30을 연속하는 수의 합으로 나타내면 다음과 같이 3가지 방법으로 나타낼 수 있다.

30 = 9+10+11 = 6+7+8+9 = 4+5+6+7+8

따라서 가능한 한 가장 많은 연속수의 합으로 나타내면 다섯 수의 합으로 나타낸

30 = 4+5+6+7+8 이고,

또 민사고의 문제처럼 몇 가지로 나타낼 수 있는가에 대한 해답은 3가지가 된다.

하지만 우리는 이러한 수의 조작을 통해서 찾아낸 방법이 하나도 빠지지 않고 찾아냈는지에 대해 결코 자신할 수 없다.

또 어떤 경우가 있는지, 다섯 수가 아니라 여섯 수의 합으로 나타낼 수 있는지 결국 모두 따져볼 수밖에 없다.

다만 1+2+3+4+5+6+7+8=36이므로,  30의 경우는  최대 7개수의 합으로 나타낼 수밖에 없기 때문에 6개 수 또는 7개수의 합으로 나타낼 수 있는지 이 2가지 경우만 따지면 된다.

그렇지만 그 수가 30보다 훨씬 큰 수라면 수의 조작을 통해 찾아낸 방법을 결코 검증할 수 없게 된다. 물론 시간이 아주 많다면 가능하겠지만 시험 시간은 한정되어 있고, 그렇게 풀라는 의도 또한 명백히 아닐 것이다.

우리는 다른 방식으로 연속수의 합으로 나타낼 수 있는 모든 방법의 가짓수를 찾아내야 한다. 즉 이 가짓수를 구하는 원리를 찾아내야 하는 것이다.

3. 연속수의 합을 구하는 방법

어떤 수를 연속수의 합으로 나타내는 방법을 찾기 위해서 먼저 연속수의 합을 구하는 방법을 알아보자.

1에서 5까지의 연속수의 합은 15이다.

1+2+3+4+5 = 15

이것을 곱셈을 이용하여 간단하게 구해 보자.

연속수는 중간 수를 기준으로 왼쪽의 수는 1씩 작아지고, 오른쪽의 수는 1씩 커진다. 따라서 연속수의 합을 구하면

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (1+2) + (2+1) + 3 + (4-1) + (5-2)

= 3 + 3 + 3 + 3 + 3

= 3 × 5  ←

3은 중간 수, 5는 연속수의 개수

= 15

즉 연속수의 합은 (중간 수)×(연속수의 개수)로 구할 수 있다.

이 방법으로 5에서 11까지의 연속수의 합을 구해 보자.

중간 수는 (5+11)÷2=8, 연속수의 개수는 11-5+1=7

따라서 5에서 11까지의 연속수의 합은

개수 7

5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 8 × 7 = 56 이 된다.

↑

중간 수

그런데 위의 경우는 연속수의 개수가 홀수 개로서 중간 수가 있을 때 성립한다.

그렇다면 중간 수가 없을 때, 즉 연속수의 개수가 짝수 개일 때는 어떻게 연속수의 합을 간단하게 구할 수 있을까?

3에서 10까지의 연속수는 8개이므로 중간 수가 없다.

하지만 중간 두 수의 합을 이용하면 다음과 같이 짝수 개인 연속수의 합을 구할 수 있다.

3+4+5+6+7+8+9+10 = 3+4+5+(6+7)+8+9+10

= (3+10)+(4+9)+(5+8)+(6+7)

= (6+7) × 4 ←

(6+7)은 중간 두 수의 합, 4는 (개수)÷2

= 52

따라서 연속수의 개수가 짝수 개일 때 연속수의 합은

(중간 두 수의 합)×(연속수의 개수)÷2 로 구할 수 있다.

따라서 이 방법을 이용하여 8에서 17까지의 연속수의 합을 구하면

(중간 두 수의 합) = 8+17 = 25

(연속수의 개수) = 17-8+1 = 10

따라서 8에서 17까지의 연속수의 합은

개수 10

8+9+10+11+12+13 +14+15+16+17 = 25 × 10÷2 = 125 가 된다.

(중간 두 수)                                   ↑           ꀧ (개수)÷2

(중간 두 수의 합)

[연속수의 합을 구하는 방법]

연속수의 개수가 홀수 개일 때 : (중간 수)×(연속수의 개수)

연속수의 개수가 짝수 개일 때 : (중간 두 수의 합)×(연속수의 개수)÷2

4. 연속수의 합을 구하는 방법을 이용하여 어떤 수를 연속수의 합으로 나타내기

연속수의 합을 구하는 방법을 거꾸로 이용하면 어떤 수를 연속수의 합으로 나타낼 수 있다. 바로 이것이 어떤 수를 연속수의 합으로 나타낼 수 있는 원리인 것이다.

예를 들어 35를 연속수의 합으로 나타내어 보자.

(연속수의 합)=(중간 수)×(연속수의 개수) 이므로 35를 두 수의 곱으로 나타내면

35 = 5 × 7 이 된다.

이 때,  35를 연속수의 합,  5를 중간 수,  7을 연속수의 개수로 이해하면

개수 7

35 = 2+3+4+5 +6+7+8 로 나타낼 수 있다.

(중간 수)

또  35 = 7 × 5 이기도 하다. 이것은 중간 수가 7, 연속수의 개수가 5인 것이다. 따라서

개수 5

35 = 5+6+7 +8+9  로 나타낼 수도 있다.

(중간 수)

위에서 우리는 연속수의 개수가 홀수일 때 35를 연속수의 합으로 나타내었다.

이제 연속수의 개수가 짝수일 때 35를 연속수의 합으로 나타내어 보자.

먼저 주어진 수가 홀수이면 항상 2개의 연속수의 합으로 나타낼 수 있고, 짝수이면 2개의 연속수의 합으로 나타낼 수 없다.

35는 홀수이므로 2개의 연속수의 합으로 나타낼 수 있다.

즉  35 = 17+18

이제 연속수의 개수가 짝수일 때의 연속수의 합을 구하는 방법을 이용하여 보자.

(연속수의 합)=(중간 두 수의 합)×(연속수의 개수)÷2이므로

ꀳ  중간 두 수의 합

35 = 7 × 5 = 7 × 10 ÷ 2

ꀧ 연속수의 개수

에서 35는 연속수의 합, 7은 중간 두 수의 합, 연속수의 개수는 10개가 된다.

7은 중간 두 수의 합이므로 중간 두 수는 3과 4가 된다.

4개               2개                   4개

… +1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

중간 두 수

하지만 중간 두 수가 3과 4이고 연속수의 개수가 10개이므로 3보다 작은 자연수가 4개가 있을 수가 없다. 따라서 이 경우에는 성립하지 않는다.

이상을 정리하여 보면 어떤 수를 연속수의 합으로 나타내려면

1. 어떤 수가 1아닌 홀수이면 두 수의 연속수의 합으로 나타낸다.

2. 어떤 수를 두 수의 곱으로 나타낸다.

3. 두 수의 곱을 이용하여 연속수의 개수가 홀수일 경우의 연속수의 합과

연속수의 개수가 짝수일 경우의 연속수의 합을 각각 구한다.

이것은 간단하게 원리를 정리한 것이지만 성립하지 않는 경우를 없애주어야 하기 때문에 차근차근히 따져보아야 한다,

하지만 원리를 정확히 이해하고 약간의 연습만 되어 있으면 연속수 문제는 아주 자신 있게 풀 수 있는 문제가 될 것이다.

5. 기출문제 풀이

2005년 교육청 문제는

75를 가능한 한 여러 가지 방법으로 연속하는 자연수의 합으로 나타내야 한다.

1) 75는 홀수이므로 연속하는 두 수의 합으로 나타내면 75=37+38

2) 75를 1이 아닌 두 수의 곱으로 나타내면

75 = 3×25

= 5×15

3) 75 = 3×25를 이용하여 연속수의 합으로 나타내면

① 3을 중간 수, 25를 개수라 하면 1보다 작은 수가 나와 성립하지 않는다.

② 3을 중간 두 수의 합, 50(=25×2)을 개수라 하여도 성립하지 않는다.

③ 25를 중간 수, 3을 개수라 하면

75 = 24+25+26

④ 25를 중간 두 수의 합, 6(=3×2)을 개수라 하면

75 = 10+11+12+13+14+15

4) 75 = 5×15를 이용하여 연속수의 합으로 나타내면

① 5를 중간 수, 15를 개수라 하면 1보다 작은 수가 나와 성립하지 않는다.

② 5를 중간 두 수의 합, 30(=15×2)을 개수라 하여도 성립하지 않는다.

③ 15를 중간 수, 5를 개수라 하면

75 = 13+14+15+16+17

④ 15를 중간 두 수의 합, 10(=5×2)을 개수라 하면

75 = 3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

따라서 75를 여러 가지 방법으로 연속하는 자연수의 합으로 나타내면 다음과 같이 5가지 방법으로 나타낼 수 있다.

75 = 37+38

= 24+25+26

= 13+14+15+16+17

= 10+11+12+13+14+15

= 3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

2004년 서울교대 문제는 90을 가능한 한 많은 연속수의 합으로 나타내야 한다.

이 문제 역시 여러 가지 방법으로 연속하는 자연수의 합으로 나타내어 보면

1) 90은 짝수이므로 두 연속수의 합으로 나타낼 수 없다.

2) 90을 두 수의 곱으로 나타내면

90 = 2×45 = 3×30 = 5×18 = 6×15 = 9×10

3) 90 = 2×45(45×2)

① 중간 수 2, 개수 45   →  불가 (1보다 작은 수가 나옴)

② 중간 두 수의 합 2, 개수90  →  불가 (중간 두 수의 합이 짝수가 될 수 없음)

③ 중간 수 45, 개수 2   →  불가 (개수가 홀수가 되어야 함)

④ 중간 두 수의 합 45, 개수 4   →   90 = 21+22+23+24

90 = 3×30(30×3)

① 중간 수 3, 개수 30   →  불가 (개수가 홀수가 되어야 함)

② 중간 두 수의 합 3, 개수 60  →  불가 (1보다 작은 수 나옴)

③ 중간 수 30, 개수 3   →  90 = 29+30+31

④ 중간 두 수의 합 30, 개수 6  →  불가 (중간 두 수의 합은 짝수 안 됨)

90 = 5×18(18×5)

① 중간 수 5, 개수 18    →  불가 (개수가 홀수가 되어야 함)

② 중간 두 수의 합 5, 개수 36  →  불가 (1보다 작은 수 나옴)

③ 중간 수 18, 개수 5    →  90 = 16+17+18+19+20

④ 중간 두 수의 합18, 개수 10  →  불가 (중간 두 수의 합은 짝수 안 됨)

90 = 6×15(15×6)

① 중간 수 6, 개수 15    →  불가 (1보다 작은 수 나옴)

② 중간 두 수의 합 6, 개수 30   → 불가 (중간 두 수의 합은 짝수 안 됨)

③ 중간 수 15, 개수 6    →  불가 (개수가 홀수가 되어야 함)

④ 중간 두 수의 합 15, 개수 12

→  90 = 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

90 = 9×10(10×9)

① 중간 수 9, 개수 10    →  불가 (개수가 홀수가 되어야 함)

② 중간 두 수의 합 9, 개수 20   →  불가 (1보다 작은 수 나옴)

③ 중간 수 10, 개수 9    →  90 = 6+7+8+9+10+11+12+13+14

④ 중간 두 수의 합 10, 개수 18   →  불가 (중간 두 수의 합은 짝수 안 됨)

따라서 90을 여러 가지 방법으로 연속하는 자연수의 합으로 나타내면 다음과 같이 5가지 방법으로 나타낼 수 있다.

90 = 29+30+31

= 21+22+23+24

= 16+17+18+19+20

= 6+7+8+9+10+11+12+13+14

= 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

따라서 90을 가능한 한 많은 연속수의 합으로 나타내면 다음과 같다.

90 = 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13

위에서는 각 곱마다 4가지 경우를 모두 따져서 일일이 이유를 적었지만 실제 풀이에서는 가능한 경우만 간단히 적으면 된다.

민사고 경시는 63을 연속수의 합으로 표기할 때, 몇 가지의 경우로 표현할 수 있는가를 구하는 문제이다.

1) 63 = 31+32

2) 63 = 3×21 = 7×9

3) 63 = 3×21(21×3)

→  63 = 20+21+22 (중간 수 21, 개수 3)

→  63 = 8+9+10+11+12+13  (중간 두 수의 합 21, 개수 6)

63 = 7×9(9×7)

→  63 = 3+4+5+6+7+8+9+10+11 (중간 수 7, 개수 9)

→  63 = 6+7+8+9+10+11+12   (중간 수 9, 개수 7)

따라서 63은 다음과 같이 5가지 연속수의 합으로 나타낼 수 있다.

63 = 31+32

= 20+21+22

= 8+9+10+11+12+13

= 6+7+8+9+10+11+12

= 3+4+5+6+7+8+9+10+11