【 영재교육원 진학위한 수학특강 (7) 쌓기나무 】

1. 공간지각력을 길러주는 쌓기나무

우리는 길을 잘 찾지 못하는 사람을 두고 공간지각력이 부족하다고 흔히 말한다.

이 공간지각력에 대해서 많은 학자들이 정의하였는데 그 중의 하나를 소개하면

물체를 회전시키거나 재배열했을 때의 변화된 모습을 머릿속에서 상상하여 그릴 수 있는 능력

이라고 한다. 쉽게 얘기하면 공간지각력은 머릿속으로 상상하여 물체를 이리저리 돌려 보거나,

자르거나, 쌓은 모양을 알아내는 능력인 것이다.

수학적 사고력에서 빠질 수 없는 능력이 공간지각력이고, 이런 공간지각력을 진단하는 문제는

학년에 상관없이 사고력을 측정하는 주요한 항목으로 영재를 선발하는 모든 시험에 빠짐없이

나오고 있다.

7차 수학 과정에 공간지각력을 길러주는 대표적인 단원으로 쌓기나무 단원이 2학년, 6학년

과정에 추가되어 쌓기나무 문제는 공간지각력을 측정하는 주요한 문제가 되었다.

2. 기출문제 유형

쌓기나무 문제는 교육청 영재교육원의 경우 매년 한번도 빠짐없이 출제되었고, 서울 교대 영재

교육원의 경우 2006년에 이어 2007년에는 2차 시험뿐만 아니라 3차 시험에도 출제되었다. 또

2006년 민사고에서도 영재성 판별 문제로 출제된 바 있다.

(1) 쌓기나무로 위, 앞, 옆에서 본 모양입니다. 쌓기나무는 몇 개입니까? [2005 서울 교육청]

(2) 위, 앞, 옆에서 본 모양이 다음과 같을 때, 정육면체를 만들려면 최소한 몇 개의 쌓기나무가  더 있어야 합니까? [2006 서울교대]

(3) 다음은 쌓기나무로 쌓은 모양을 위, 앞, 왼쪽 옆에서 본 모양을 그린 것입니다. 사용된  쌓기나무의 개수가 될 수 있는 것을 고르면? [2007 서울교대]

① 12개       ② 13개       ③ 14개       ④ 15개       ⑤ 16개

(4) 다음과 같은 모양이 되도록 쌓기나무를 쌓는 방법은 모두 몇 가지입니까? (단, 쌓기나무를 공중에 띄울 수 없고, 쌓기나무 사이에 빈틈은 없습니다.) [2006 민사고 영재판별]

(5) 다음은 쌓기나무를 이용하여 만든 입체도형을 위, 앞, 옆(오른쪽)에서 바라본 모양을 나타낸 그림입니다. 이와 같은 모양이 되도록 쌓기나무를 쌓는 방법은 모두 몇 가지인지 구하시오.

[2007 서울 교육청]

기출 문제에서 보듯이 영재교육원에서 자주 나오는 쌓기나무 문제는 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고 쌓은 모양을 유추하는 문제이다.

2005년 서울 교육청 문제는 가장 쉬운 유형으로 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고, 쌓기나무의 개수를 구하는 문제로 이 때 쌓여진 모양은 단 한가지이다.

2006, 2007 서울 교대 문제는 2005 서울 교육청 문제와 같이 위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고, 쌓기나무의 개수를 구하는 문제이긴 하지만 쌓여진 쌓기나무의 모양은 단 한 가지가 아니라 여러 가지가 나온다.

2006 민사고 문제와 2007 교육청 문제는 위, 앞, 옆에서 본 모양이 되게 쌓기나무를 쌓는 방법의 가짓수를 구하는 문제로 상당히 난이도가 높은 수준의 문제이다.

어려운 문제들이긴 하지만 간단한 경우에 원리를 찾아내고, 그 원리를 확대 적용하는 방법을 택한다면 가장 높은 수준의 어떠한 문제도 풀 수 있을 것이다.

가장 간단한 2005 서울 교육청 문제를 풀어보자.

위, 앞, 옆에서 본 모양을 보고 쌓기나무가 쌓여진 모습을 머릿속에서 상상해 보자.

그 모습이 머릿속으로 그려지고 머릿속으로 그 개수를 셀 수 있다면 더 이상의 원리는 필요하지 않고 바로 답을 구할 수가 있을 것이다.

사실 이 정도의 문제라면 머릿속으로 그 모습을 그리는데 그리 어려움이 없을 수도 있다.

하지만 2007 서울 교대 문제를 보면 그 모양이 복잡해서 쌓은 모양을 머릿속으로 상상하기란 불가능할 것이다. 만일 그것이 가능하면 더 이상 이 글을 읽을 필요가 없이 그렇게 풀면 된다.

이 문제를 풀기 위해서 위, 앞, 옆에서 본 3개의 모양을 하나의 모양으로 나타내어 보자. 즉, 위에서 본 모양의 밑에 앞에서 본 모양의 개수를 쓰고, 옆에는 옆에서 본 모양의 개수를 쓴다.

이제 위에서 본 모양의 각 칸에 쌓아올리면 쌓기나무의 개수를 구해 보자.

① 오른쪽 그림에서 그림의 앞에 쓰여진 수 1을 보자. 이것은 앞에서 보았을 때 그 줄은 쌓기나무가 1층으로 쌓여 있다는 것이다. (위에서 본 모양이므로 빈 칸은 없다.) 따라서 그 칸에 쌓인 쌓기나무는 각각 1개씩 있다.

② 옆에 쓰여진 수 1은 옆에서 보았을 때 그 줄은 쌓기나무가 1층으로 쌓여 있다는 것이다.

③ 오른쪽 그림에서 칠해진 칸은 앞에서 보았을 때 단 한 칸만 있으므로 그 칸은 앞에서 본 모양의 개수와 같다.

④ 비어 있는 칸에 쌓인 쌓기나무의 개수는 3개이다.

따라서 구하는 쌓기나무의 개수는 각 칸에 쓰여진 수를 모두 더하면 되므로

1+3+1+1+2+1=9(개)이다.

2006 서울 교대 문제를 같은 방법으로 풀어 보면

① 위, 앞, 옆에서 본 모양을 하나의 모양으로 나타낸다.

② 앞, 옆에서 쓰인 수 중 1을 찾아 1에 해당하는 각 줄의 칸을 채운다.

③ 앞, 옆에서 보았을 때 단 한 칸만 있는 칸을 찾아 채운다.

④ 나머지 빈 칸 중에서 가장 큰 수인 4가 들어갈 수 없는 칸을 표시한다. 오른쪽 그림에서 칠해진 칸은 앞에 쓰여진 수 3 때문에 4가 들어갈 수 없다.

⑤ 4가 들어갈 수 있는 칸은 하나 뿐이므로 그 칸에 4를 쓰고 비어 있는 칸에 들어갈 수 있는 쌓기나무의 개수를 생각해보면 작게는 1개, 많게는 3개까지 들어갈 수 있다.

따라서 쌓기나무는 최대 3+4+1+2+1+1+③=15(개)

최소 3+4+1+2+1+1+①=13(개)

까지 사용됨을 알 수 있다.

따라서 정육면체를 만들려면 4×4×4=64(개)의 쌓기나무가 필요하고, 최소한 64-15=49(개)의 쌓기나무가 더 있어야 한다.

이제 원리를 파악했으면 어떤 어려운 문제도 해결할 수 있다. 2007 서울 교대 문제에서 옆에서 본 모양이 왼쪽으로 본 것이므로 오른쪽 모양에서 보았을 때와 대칭이 된다. (보통 옆에서 본 모양이라고 할 때, 별도의 언급이 없으면 오른쪽에서 본 모양이라 보면 된다.)

같은 방법으로 풀면

쌓기나무가 가장 많을 때는 비어 있는 세 칸 모두에 3을 채우면 되고 쌓기나무가 가장 적을 때는 3과 3이 교차하는 칸에 3을 채우고 나머지는 1을 채우면 된다.

따라서 사용된 쌓기나무의 개수는 16개에서 20개까지임을 알 수 있다.

자 이번에도 2006년도 민사고 문제(기출유형 4번)와 2007년도 서울교육청 문제(기출유형 5번)는

독자들의 몫입니다. 앞에서 설명한 원리를 생각하면서 잘 풀어보시기 바랍니다. 정답을 아시는 분

은 저희 시매쓰 홈페이지(www.cmath.co.kr)에 들어오셔서 <커뮤니티> - <경향 하이스터디>에

답을 올려주시면 정답자중 5명을 추첨하여 [영재교육원 대비 초등 사고력 수학 1031] 1set

(학년별 3권)를 보내 드립니다.

【 지난 호 정답 】

1번.  먼저하는 것이 유리

2번.  위로 두 칸

3번.  (1) 2개  (2) 3개

4번.  3칸